સાબિત કરો કે વિધેય $h(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ ને કોઈ સ્થાનીય મહત્તમ કે સ્થાનીય ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.

(N/A) આપેલ વિધેય $h(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ છે.
પ્રથમ,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિધેયનું વિકલન મેળવીએ:
$h'(x) = \frac{d}{dx}(x^{3} + x^{2} + x + 1) = 3x^{2} + 2x + 1$.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ (સ્થિર બિંદુઓ) શોધવા માટે,આપણે $h'(x) = 0$ લઈએ:
$3x^{2} + 2x + 1 = 0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D$ નું સૂત્ર $D = b^{2} - 4ac$ છે.
અહીં,$a = 3$,$b = 2$,અને $c = 1$ છે.
$D = (2)^{2} - 4(3)(1) = 4 - 12 = -8$.
કારણ કે વિવેચક $D < 0$ છે,તેથી સમીકરણ $3x^{2} + 2x + 1 = 0$ ને કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આનો અર્થ એ છે કે $h'(x)$ હંમેશા ધન રહે છે (કારણ કે $x^{2}$ નો સહગુણક ધન છે) તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે.
કોઈપણ $x \in \mathbb{R}$ માટે $h'(x) \neq 0$ હોવાથી,વિધેય $h(x)$ ને કોઈ સ્થાનીય મહત્તમ કે સ્થાનીય ન્યૂનતમ મૂલ્ય નથી.